Bonjour,
Dans le cours, on a vu le théorème suivant :
" soit A une matrice réelle dont le polynôme caractéristique est scindé. Alors A est trigonalisable"
Je me puis demandé si le théorème reste valable si on remplace " polynôme caractéristique " par " un polynôme annulateur de A".
Je lai traité en exercice et … c’est vrai !
Ce résultat ne fait pas partie du cours, ou je rêve ?
Merci
Mik
Bonjour,
S’il existe un polynôme annulateur scindé de A, le polynôme minimal (unitaire) de A le divise, donc est scindé également.
Or, le polynôme minimal de A est scindé ssi le polynôme caractéristique de A est scindé (mêmes racines).
Si, ça me semble bien au programme de mp.
Pourquoi ?
On peut avoir comme polynôme minimal (X-1)(X-2)^2 et comme polynôme caractéristique (X-1)(X-2)^2( X^2+1) ?
Mik
Okay. Merci. Je suis allé voir des cours sur internet et effectivement d Autres profs mettent ce théorème dans leur cours. ..
Parce que polynôme caractéristique divise une puissance du polynôme minimal :D
(si le polynôme caractéristique chi a un facteur irréductible que n'a pas le polynôme minimal, alors il existe une nouvelle valeur propre de l'endomorphisme dans un surcorps (de décomposition) qui scinde chi)
Edit : je précise ce qui est entre parenthèses
Appelons P le polynôme minimal et Q le polynôme caractéristique. Supposons que Q ait un facteur irréductible W que n'a pas P. Il existe une extension L de K où W est scindé. Cela nous donne l'existence d'une nouvelle valeur propre pour u, appelons la b, qui est racine de W.
Dans le nouveau corps L, il y a un vecteur propre v (non nul) pour b et on a u(v) = b.v et donc 0 = P(u)(v) = P(b).v, puis P(b) = 0
Mais aussi, dans K, P est premier avec W donc il existe (Bézout) A et B tels que AP + BW = 1.
On arrive à notre contradiction car on trouve 1 = 1(b) = A(b)P(b) + B(b)W(b) = 0+0 = 0
Okay, c’est technique mais ça va. Après changer de corps j’y ai pensé mais je voulais éviter ça. 