Bonjour,
Je voulais savoir s’il y’a avait un moyen de « décrire » (ou carrément déterminer mais ça m’étonnerait) les permutations de [tex][[0, n]][/tex] qui admettent des racines carrées (ie des permutations telles que le carrée de celle-ci donne la permutation de départ) ?
De plus, j’ai l’impression qu’il y a presque toujours qu’une seule racine… Quand est-qu’il y a unicité de cette racine ?
J’ai cherché mais je me retrouve vite à raconter des évidences sans grand interêts…
Si vous avez des indications ou des éléments de réponse, je vous en remercie
Bonsoir,
On peut déjà observer que la signature d’une telle permutation vaut 1.
Par ailleurs, il n’y a pas unicité de la racine lorsqu’il y a existence. Exemple : l’identité est le carré de n’importe quelle transposition.
Il y peut y avoir unicité (dans [tex]\mathfrak{S}_3[/tex] ici) : (1 2 3)²=(1 3 2) et (1 3 2)²=(1 2 3). Elles sont racines carrées l’une de l’autre.
Évidemment, si on étend à [tex]\mathfrak{S}_5[/tex], il n’y a plus unicité pour la raison donnée par JeanMP.
Pour chercher une éventuelle unicité, on a donc besoin d’un dérangement ou au pire, d’une permutation qui déplace tout le monde sauf au plus un élément.
<LINK_TEXT text=« viewtopic.php?f=3&t=18640&start=6750 »>http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f=3&t=18640&start=6750</LINK_TEXT>
J’ai proposé une réponse complète ici.
Wow
Mille fois merci